CPE 332
Computer Engineering
Mathematics II
Week 12
Part III, Chapter 10
Linear Equations
• Chapter 9 Linear Equations
– Gauss Elimination
– Gauss-Jordan
– Gauss-Seidel
– LU Decomposition
– Crout Decomposition
• HW(9) Ch 9 Due Next Week
• เราสามารถเขียน Function การคํานวณโดยใช ้ MATLAB
Editor และบันทึกเป็น ‘.m’ File
– ขึ้นบันทัดแรกของ Function ด ้วย
function [List ของค่าที่ส่งคืน]=fname(List ของ Parameter) function [x,y,z]=find123(a,b,c)
– ภายใน Function สามารถใช ้ Loop, Branch ได ้เหมือนการ
เขียนโปรแกรม, สามารถกําหนด Local Variable ภายในได ้
เช่นกัน
– อย่าลืมว่า พื้นฐาน Variable จะเป็น Matrix
• Function นี้สามารถเรียกใช ้งานได ้ใน MATLAB
• ดูรายละเอียดใน Tutorial 4-5 ของ MATLAB
Ex: หารากของ
− cos x
− sin x
f ( x) = sin 3 x ⋅ e
+ cos 2 x ⋅ e
• x=-10:.1:10;
• y=sin(3*x).*exp(-cos(x))+cos(2*x).*exp(-sin(x));
• plot(x,y)
เราจะหาคําตอบในช่วง [0, 2]
x =0.95774795776341
•
function [x]=example91a(es)
•
% Calculate using Bisection Method between [0,2]
•
ea = inf;
•
xr = inf;
•
it=0;
•
xl=0;
•
xu=2;
•
while(ea > es)
•
it = it+1;
•
pxr=xr;
•
fxl=sin(3*xl).*exp(-cos(xl))+cos(2*xl).*exp(-sin(xl));
•
fxu=sin(3*xu).*exp(-cos(xu))+cos(2*xu).*exp(-sin(xu));
•
xr=(xl+xu)/2;
•
fxr=sin(3*xr).*exp(-cos(xr))+cos(2*xr).*exp(-sin(xr));
•
ea = abs((xr-pxr)/xr)*100;
•
x=[it xl fxl xu fxu xr fxr ea]
•
if(fxl*fxr > 0.0)
•
xl=xr;
•
elseif (fxl*fxr < 0.0)
•
xu=xr;
•
else
•
ea=0.0;
•
end
•
end
Bisection Results:>> example91a(0.01) Iter xl fxl xu fxu xr fxr ea
•
x = 1.0000 0 1.0000 2.0000 -0.6869 1.0000 -0.0972 Inf
•
x = 2.0000 0 1.0000 1.0000 -0.0972 0.5000 0.7493 100.0000
•
x = 3.0000 0.5000 0.7493 1.0000 -0.0972 0.7500 0.4101 33.3333
•
x = 4.0000 0.7500 0.4101 1.0000 -0.0972 0.8750 0.1774 14.2857
•
x = 5.0000 0.8750 0.1774 1.0000 -0.0972 0.9375 0.0451 6.6667
•
x = 6.0000 0.9375 0.0451 1.0000 -0.0972 0.9688 -0.0249 3.2258
•
x = 7.0000 0.9375 0.0451 0.9688 -0.0249 0.9531 0.0104 1.6393
•
x = 8.0000 0.9531 0.0104 0.9688 -0.0249 0.9609 -0.0072 0.8130
•
x = 9.0000 0.9531 0.0104 0.9609 -0.0072 0.9570 0.0016 0.4082
•
x = 10.0000 0.9570 0.0016 0.9609 -0.0072 0.9590 -0.0028 0.2037
•
x = 11.0000 0.9570 0.0016 0.9590 -0.0028 0.9580 -0.0006 0.1019
•
x = 12.0000 0.9570 0.0016 0.9580 -0.0006 0.9575 0.0005 0.0510
•
x = 13.0000 0.9575 0.0005 0.9580 -0.0006 0.9578 -0.0000 0.0255
•
x = 14.0000 0.9575 0.0005 0.9578 -0.0000 0.9576 0.0002 0.0127
•
x = 15.0000 0.9576 0.0002 0.9578 -0.0000 0.9577 0.0001 0.0064
•
ans =
•
15.00000000000000 0.95776367187500 -0.00003535871565 0.95770263671875
0.00023929892750 0.95770263671875 0.00010197464576 0.00637308010962
x =0.95774795776341
True error = 0.004732%
Other Results: xt= 0.95774795776341
• Es = 0.01%
– It = 15;xr=0.95770263671875
– Ea=0.006373%, et = 0.004732%
• Es = Es = 0.001%
– It = 18;xr=0.95774078369141
– Ea=0.0007966%, et = 0.0007491%
• Es = 0.0001%
– It = 21;xr=0.95774745941162
– Ea=0.00009957%, et = 0.00005203%
• Es = 0.000001%
– It = 28;xr=0.95774795860052
– Ea=0.0000007779%, et = 8.740e-008%
•
function [x]=example91b(es)
•
% Calculate using False-Position Method between [0,2]
•
ea = inf;
•
xr = inf;
•
it=0;
•
xl=0;
•
xu=2;
•
while(ea > es)
•
it = it+1;
•
pxr=xr;
•
fxl=sin(3*xl).*exp(-cos(xl))+cos(2*xl).*exp(-sin(xl));
•
fxu=sin(3*xu).*exp(-cos(xu))+cos(2*xu).*exp(-sin(xu));
•
% xr=(xl+xu)/2;
•
xr=xu-((fxu*(xl-xu))/(fxl-fxu));
•
fxr=sin(3*xr).*exp(-cos(xr))+cos(2*xr).*exp(-sin(xr));
•
ea = abs((xr-pxr)/xr)*100;
•
x=[it xl fxl xu fxu xr fxr ea]
•
if(fxl*fxr > 0.0)
•
xl=xr;
•
elseif (fxl*fxr < 0.0)
•
xu=xr;
•
else
•
ea=0.0;
•
end
•
end
FP Results:>> example91b(0.01) Iter xl fxl xu fxu xr fxr ea
•
x = 1.0000 0 1.0000 2.0000 -0.6869 1.1856 -0.5611 Inf
•
x = 2.0000 0 1.0000 1.1856 -0.5611 0.7595 0.3940 56.1096
•
x = 3.0000 0.7595 0.3940 1.1856 -0.5611 0.9353 0.0500 18.7964
•
x = 4.0000 0.9353 0.0500 1.1856 -0.5611 0.9557 0.0045 2.1423
•
x = 5.0000 0.9557 0.0045 1.1856 -0.5611 0.9576 0.0004 0.1922
•
x = 6.0000 0.9576 0.0004 1.1856 -0.5611 0.9577 0.0000 0.0166
•
x = 7.0000 0.9577 0.0000 1.1856 -0.5611 0.9577 0.0000 0.0014
•
ans =
•
7.00000000000000 0.95773289766706 0.00003388653487 1.18559512875289
-0.56109590391892 0.95774665822935 0.00000292408716 0.00143676432376
x =0.95774795776341
True error = 0.0001357 %
Other Results: xt= 0.95774795776341
• สีนํ้าเงินได ้จาก Bisection Method
• สีเขียวได ้จาก False-Position Method
• Es = 0.01%
– It = 15;xr=0.95770263671875 Ea=0.006373%, et = 0.004732%
– It = 7;xr=0.95774665822935 Ea=0.001437%, et = 0.0001357%
• Es = Es = 0.001%
– It = 18;xr=0.95774078369141 Ea=0.0007966%, et = 0.0007491%
– It = 8;xr=0.95774784562942 Ea=0.0001240%, et = 0.00001171%
• Es = 0.0001%
– It = 21;xr=0.95774745941162 Ea=0.00009957%, et = 0.00005203%
– It = 9;xr=0.95774794808763 Ea=0.00001070%, et = 0.000001010%
• Es = 0.000001%
– It = 28;xr=0.95774795860052 Ea=0.0000007779%, et = 8.740e-008%
– It = 10;xr=0.95774795692851 Ea=0.0000009231%, et = 8.717e-008%
f ( x) = sin3
− cos
x ⋅ e
x + cos2
− sin
x ⋅ e
x
−cos
e
x
−
sin 3
−sin
x
e
x
x
−
x
x
cos
sin
cos2
f '( x) = sin 3 x ⋅ d
+ e
d
+ cos2 x ⋅ d
+ e
d
dx
dx
dx
dx
= sin3
−cos
x ⋅ e
x ⋅ sin
−cos
x + e
x ⋅ 3cos3 x + cos2
−sin
x ⋅ e
x (−cos x)
−sin
+ e
x ⋅ ( 2
− sin 2 x)
−cos
= e
x [sin 3 x sin x + 3cos3 x]
−sin
− e
x [cos 2 x cos x + 2sin 2 x]
f ( x )
i
x
= x −
i 1
+
i
f '( x )
i
−
−
sin 3
cos x
x ⋅ e
i
+ cos2
sin x
x ⋅ e
i
i
i
x
= x −
i 1
+
i
−cos x
−
e
i [sin 3 x sin x + 3cos 3 x ]
sin x
− e
i [cos 2 x cos x + 2sin 2 x ]
i
i
i
i
i
i
•
function [x]=example91c(es,x0)
•
% Calculate solution using Newton-Ralphson, x0=initial;
•
it=0;
•
xi=x0;
•
ea=inf;
•
while (ea > es)
•
it = it+1;
•
fxi=sin(3*xi)*exp(-cos(xi))+cos(2*xi)*exp(-sin(xi));
•
dfxi=exp(-cos(xi))*(sin(3*xi)*sin(xi)+3*cos(3*xi))...
•
-exp(-sin(xi))*(cos(2*xi)*cos(xi)+2*sin(2*xi));
•
pxi=xi;
•
xi=pxi-fxi/dfxi;
•
ea=abs((xi-pxi)/xi)*100;
•
x=[it pxi fxi dfxi xi ea]
•
end
• X0=0 โปรแกรมจะ Converge เข ้าสู่จุดอื่นด ้านซ ้าย
• X0=2 โปรแกรมจะ Converge เข ้าสู่จุดอื่นด ้านขวา
• ดูรูป
• ถ ้า x0 = 0.5 หรือ 1.5 โปรแกรมจะ Converge เข ้า
จุดที่ต ้องการอย่างรวดเร็วมาก
• เป็นไปได ้ที่เราเลือกจุดที่โปรแกรมไม่ Converge
• เราอาจจะใช ้ Bisection Method ก่อนเพื่อหาจุด
x0 ที่ดี จากนั้นต่อด ้วย Newton-Ralphson เพื่อให ้
ได ้คําตอบอย่างรวดเร็ว
เราจะหาคําตอบในช่วง [0, 2]
X0=0
x =0.95774795776341
2.1310
X0=2
Ex: หารากของ
− cos x
− sin x
f ( x) = sin 3 x ⋅ e
+ cos 2 x ⋅ e
• x=-10:.1:10;
• y=sin(3*x).*exp(-cos(x))+cos(2*x).*exp(-sin(x));
• plot(x,y)
กรณีเลือก x0 = 0
-9.2837
Iter xi fxi dfxi xi+1 ea
• x = 1.0000 0.5000 0.7493 -1.0485 1.2146 58.8351
• x = 2.0000 1.2146 -0.6362 -2.5824 0.9683 25.4413
• x = 3.0000 0.9683 -0.0238 -2.2755 0.9578 1.0939
• x = 4.0000 0.9578 -0.0001 -2.2502 0.9577 0.0061
• x = 4 0.95780651884294 -0.00013177280 -2.25024858111352
0.95774795962033 0.00611426231998
x =0.95774795776341
True error = 0.0000001939 %
Iter xi fxi dfxi xi+1 ea
• x = 1.0000 0.5000 0.7493 -1.0485 1.2146 58.8351
• x = 2.0000 1.2146 -0.6362 -2.5824 0.9683 25.4413
• x = 3.0000 0.9683 -0.0238 -2.2755 0.9578 1.0939
• x = 4.0000 0.9578 -0.0001 -2.2502 0.9577 0.0061
• x = 5.0000 0.9577 -0.0000 -2.2501 0.9577 0.0000
• x = 5 0.95774795962033 -0.00000000417826 -
2.25010587635298 0.95774795776341 0.00000019388349
x =0.95774795776341
True error = 0.000000000000000 %
Compare : xt =0.95774795776341
• Es = 0.01%
– It = 15;xr=0.95770263671875 Ea=0.006373%, et = 0.004732%
– It = 7;xr=0.95774665822935 Ea=0.001437%, et = 0.0001357%
– It = 4;xi= 0.95774795962033 Ea=0.006114%, et = 0.0000001939 %
• Es = Es = 0.001%
– It = 18;xr=0.95774078369141 Ea=0.0007966%, et = 0.0007491%
– It = 8;xr=0.95774784562942 Ea=0.0001240%, et = 0.00001171%
– It = 5;xi= 0.95774795776341 Ea=0.0000001939%, et < 1.0e-15 %
• Es = 0.0001%
– It = 21;xr=0.95774745941162 Ea=0.00009957%, et = 0.00005203%
– It = 9;xr=0.95774794808763 Ea=0.00001070%, et = 0.000001010%
– It = 5;xi= 0.95774795776341 Ea=0.0000001939%, et < 1.0e-15 %
• Es = 0.000001%
– It = 28;xr=0.95774795860052 Ea=0.0000007779%, et = 8.740e-008%
– It = 10;xr=0.95774795692851 Ea=0.0000009231%, et = 8.717e-008%
– It = 5;xi= 0.95774795776341 Ea=0.0000001939%, et < 1.0e-15 %
เพียง 5 iteration วิธีของ Newton-Ralphson
ให ้ Error น ้อยจน Double Precision วัดไม่ได ้
แต่ข ้อเสียคือจุด x0 จะต ้องเลือกให ้ดี
Linear Eq.
• จะ Limit อยู่ที่สมการ AX=B โดย A เป็น Square
Matrix
– N สมการ N Unknown
– จะมีคําตอบที่ Unique
– คําตอบจะมีได ้ต่อเมื่อ A ไม่เป็น Singular
• Determinant ไม่เท่ากับ 0
• A หา Inverse ได ้ และ X = A-1B
– ในกรณีที่ Determinant A ใกล ้ศูนย์ แต่ไม่ใช่ศูนย์
คําตอบจะ Sensitive กับ Error การคํานวณเมื่อมีการ
ปัดเศษจะต ้องระวัง
• กรณีนี้ เราเรียกว่ามันเป็น ‘Ill-Conditioned System’
System of Linear Equations
Krammer’s Rule
• A-1AX=A-1C
• X=A-1C
• Inverse หาได ้ยาก แม ้จะใช ้ Computer
คํานวณ เพราะเป็น O(n4)
Solution by Elimination
Gauss Elimination
1. ใน Elimination Step จาก AX=C เราพยายามทําให ้
Matrix A อยู่ในรูป Upper Diagonal Matrix ด ้วย
ขบวนการ Elimination คือการบวกและลบแต่ละแถวเข ้า
ด ้วยกัน และค่า C จะถูกบวกลบตามไปด ้วย
2. เมื่อ A เป็น Upper Diagonal แล ้ว การแก ้สมการสามารถ
ทําได ้ง่าย โดยเราหา xn ก่อนในแถวสุดท ้ายของสมการ
จากนั้นนํา xn ที่หาได ้มาแทนค่า เพื่อหา xn-1 ในแถวรอง
สุดท ้าย เนื่องจากเป็นการแทนค่าเพื่อหา Unknown
ย ้อนหลัง เราจึงเรียก Back-Substitution
Gauss Elimination
• จาก
AX = C
Gauss Elimination
AX = C
a
a
a
x
c
1
,
1
,
1 2
,
1 n 1
1
a
a
a
x
c
2 1
,
2,2
2, n 2
2
=
a
a
a
x
c
n 1
,
n,2
n, n n
n
⇓
aˆ
aˆ
aˆ
x
cˆ
1
,
1
,
1 2
,
1 n 1
1
a
aˆ
aˆ
x
cˆ
2 1
,
2,2
2, n 2
2
=
0
0
aˆ
x
cˆ
n, n n
n
Gauss Elimination
a
a
a
a
a x
c
1
,
1
,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
1 5
1 1
a
a
a
a
a
x
c
2 1
,
2,2
2,3
2,4
2,5 2
2
a
a
a
a
a x = c
3 1,
3,2
3,3
3,4
3,5 3 3
a
a
a
a
a
x
c
4 1
,
4,2
4,3
4,4
4,5 4
4
a
a
a
a
a
x
c
5 1,
5,2
5,3
5,4
5,5 5
5
⇓
a
a
a
a
a x
c
1
,
1
,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
1 5
1 1
/
/
/
/
0
a
a
a
a
x
c'
2,2
2,3
2,4
2,5 2
2
/
/
/
/
0
a
a
a
a x = c'
3,2
3,3
3,4
3,5
/
/
/
/
3 3
0
a
a
a
a
x
c'
4,2
4,3
4,4
4,5 4
4
/
/
/
/
a
a
a
a
x
0
c'
5,2
5,3
5,4
5,5 5
5
Gauss Elimination
a
a
a
a
a x
c
1
,
1
,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
1 5
1 1
/
/
/
/
0
a
a
a
a
x
c'
2,2
2,3
2,4
2,5 2
2
/
/
/
/
0
a
a
a
a x = c'
3,2
3,3
3,4
3,5
/
/
/
/
3 3
0
a
a
a
a
x
c'
4,2
4,3
4,4
4,5 4
4
/
/
/
/
a
a
a
a
x
0
c'
5,2
5,3
5,4
5,5 5
5
⇓
a
a
a
a
a x
c
1
,
1
,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
1 5
1 1
/
/
/
/
0
a
a
a
a
x
c'
2,2
2,3
2,4
2,5 2
2
//
//
//
0
0
a
a
a x = c''
3,3
3,4
3,5
//
//
//
3 3
0
0
a
a
a
x
c''
4,3
4,4
4,5 4
4
//
//
//
a
a
a
x
0
0
c''
5,3
5,4
5,5 5
5
Gauss Elimination
a
a
a
a
a x
c
1
,
1
,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
1 5
1 1
/
/
/
/
0
a
a
a
a
x
c'
2,2
2,3
2,4
2,5 2
2
//
//
//
0
0
a
a
a x = c''
3,3
3,4
3,5
//
//
//
3 3
0
0
a
a
a
x
c''
4,3
4,4
4,5 4
4
//
//
//
a
a
a
x
0
0
c''
5,3
5,4
5,5 5
5
⇓
a
a
a
a
a x
c
1
,
1
,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
1 5
1 1
/
/
/
/
0
a
a
a
a
x
c'
2,2
2,3
2,4
2,5 2
2
//
//
//
0
0
a
a
a x = c''
3,3
3,4
3,5
///
///
3 3
0
0
0
a
a
x
c'''
4,4
4,5 4
4
///
///
a
a
x
0
0
0
c'''
5,4
5,5 5
5
Gauss Elimination
a
a
a
a
a x
c
1
,
1
,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
1 5
1 1
/
/
/
/
0
a
a
a
a
x
c'
2,2
2,3
2,4
2,5 2
2
//
//
//
0
0
a
a
a x = c''
3,3
3,4
3,5
///
///
3 3
0
0
0
a
a
x
c'''
4,4
4,5 4
4
///
///
a
a
x
0
0
0
c'''
5,4
5,5 5
5
⇓
a
a
a
a
a x
c
1
,
1
,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
1 5
1 1
/
/
/
/
0
a
a
a
a
x
c'
2,2
2,3
2,4
2,5 2
2
//
//
//
0
0
a
a
a
x = c''
3,3
3,4
3,5
(3)
(3)
3 3
(3)
0
0
0
a
a
x
c
4,4
4,5 4
4
(4)
a
x
(4)
c
0
0
0
0
5,5 5
5
Back Substitution
a
a
a
a
a x
c
1
,
1
,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
1 5
1
1
/
/
/
/
0
a
a
a
a
x
c'
2,2
2,3
2,4
2,5
2
2
//
//
//
0
0
a
a
a x = c''
3,3
3,4
3,5
3
3
(3)
(3)
(3)
0
0
0
a
a
x
c
4,4
4,5
4 4
(4)
(4)
0
0
0
0
a
x c
5,5 5
5
⇓
a x + a x + a x + a x + a x = c 1
,
1
1
,
1 2
2
,
1 3 3
,
1 4
4
,
1 5 5
1
/
/
/
/
a x + a x + a x + a x = c'
2,2
2
2,3 3
2,4
4
2,5 5
2
//
//
//
a x + a x + a x = c''
3,3 3
3,4
4
3,5 5
3
(3)
(3)
(3)
a x + a x = c
4,4
4
4,5 5
4
(4)
(4)
a
x = c
5,5
5
5
Back
a x + a x + a x + a x + a x = c 1
,
1
1
,
1 2
2
,
1 3 3
,
1 4
4
,
1 5 5
1
/
/
/
/
+
+
+
=
Substitution
a x
a x
a x
a x
c'
2,2
2
2,3 3
2,4
4
2,5 5
2
//
//
//
a x + a x + a x = c''
3,3 3
3,4
4
3,5 5
3
(3)
(3)
(3)
a x + a x = c
4,4
4
4,5 5
4
(4)
(4)
a
x = c
5,5
5
5
⇓
(4)
c 5
x =
5
(4)
a 5,5
(3)
(3)
c
− a x
4
4,5 5
x =
4
(3)
a 4,4
//
//
c'' − a x − a x
3
3,4
4
3,5 5
x =
3
//
a 3,3
/
/
/
c' − a x − a x − a x 2
2,3 3
2,4
4
2,5 5
x =
2
/
a 2,2
c − a x − a x − a x − a x 1
,
1 2
2
,
1 3 3
,
1 4
4
,
1 5 5
x =
1
a 1,
1
Gauss Elimination
Gauss Elimination
Gauss Elimination
Gauss Elimination
Gauss Elimination
Gauss Elimination Alg
• Elimination by Forward Substitution
Gauss Elimination Alg
• Back-Substitution
Gauss Elimination Alg
• Back-Substitution
Example 8.1
Example 8.1
Example 8.1
• Back Substitution
ปัญหาของ Gauss Elimination
ปัญหาของ Gauss Elimination
ปัญหาของ Gauss Elimination
ปัญหาของ Gauss Elimination
Gauss-Jordan Method
Gauss-Jordan Method
Example 8.2
3
− 0 1
.
− 2
.
0
|
7 85
.
.
0 1
7
− 3
.
0
|
−
3
.
19
.
0 3
− 0 2
.
10
|
4
.
71
( R )
2 − ( R )
1 × .1/ 3 → ( R )
2
3
− .
0 1
− .
0 2
|
85
.
7
0
0033
.
7
− 0 2933
.
|
−
5617
.
19
3
.
0
− 0 2
.
10
|
.
71 4
( R )
3 − ( R )
1 × 3
. / 3 → ( R )
3
3
− 0 1
.
− 2
.
0
|
85
.
7
0
7 0033
.
− 0 2933
.
|
−
5617
.
19
0 − 0 1900
.
10 0200
.
|
6150
.
70
( R )
1 = ( R )
1 / 3
1 − 0333
.
0
− .
0 0667 |
6167
.
2
0
0033
.
7
− .
0 2933 |
−
5617
.
19
0 − 0 1900
.
.
10 0200
|
6150
.
70
1.0000 − 0.0333 − 0 0667
.
|
.
2 6167
0
7 0033
.
− 0 2933
.
|
− .
19 5617
0
− .
0 1900
.
10 0200
|
.
70 6150
( R )
3 = ( R )
3 − ( R )
2 × (−.
)
19 / 7 0033
.
.
1 0000
− .
0 0333
− 0 0667
.
|
.
2 6167
0
7.0033
− 0.2933 | −
5617
.
19
0
0
.
10 0120
|
.
70 0843
( R )
2 = ( R )
2 / 7 0033
.
1.0000 − .
0 0333
− .
0 0667 |
.
2 6167
0
1
− 0.0419 | − .
2 7932
0
0
.
10 0120
|
0843
.
70
( R )
1 = ( R )
1 − ( R )
2 × (−
)
0333
.
.
1 0000
0
− 0 0681
.
|
2 5236
.
0
1.0000
− .
0 0419 |
− 2.7932
0
0
0120
.
10
|
.
70 0843
0000
.
1
0
− 0 0681
.
|
5236
.
2
0
0000
.
1
− 0419
.
0
|
− 7932
.
2
0
0
0120
.
10
|
70 0843
.
( R )
3 = ( R )
3 /
012
.
10
0000
.
1
0
− 0681
.
0
|
5236
.
2
0
0000
.
1
− 0419
.
0
|
− 7932
.
2
0
0
1 0000
.
|
0000
.
7
( R )
2 = ( R )
2 − ( R )
3 * (−
)
0419
.
0000
.
1
0
− 0681
.
0
|
5236
.
2
0
.
1 0000
0
|
− 5000
.
2
0
0
0000
.
1
|
0000
.
7
( R )
1 = ( R )
1 − ( R )
3 * (−
)
0681
.
0000
.
1
0
0
|
0000
.
3
0
0000
.
1
0
|
− 5000
.
2
0
0
0000
.
1
|
0000
.
7
.
1 0000
0
0
|
.
3 0000
0
.
1 0000
0
|
− 2 5000
.
0
0
.
1 0000 |
.
7 0000
A'X = C'
1
0
0 x
3
1
0
1
0
x
= − .
2 5
2
0 0 1 x 7
3
x
= 3
1
x
= 2
− 5
.
2
x
= 7
3
Example 8.2
การหา Matrix Inverse ด ้วย GJ
การหา Matrix Inverse ด ้วย GJ
การหา Matrix Inverse ด ้วย GJ
การหา Matrix Inverse ด ้วย GJ
การหา Matrix Inverse ด ้วย GJ
Example 8.3
Example 8.3
Example 8.3
1
3
− 1
.
− 2
. −
3325
.
.0049
0068
.
1
.
7
− 3
.
=
− .0052 .1429 .0042
.3 − 2
.
10
− 0101
.
.0027 .0999
จํานวนการคํานวณจะใช ้น ้อยกว่าวิธีทาง Analytic Method มาก
−
AdjA
A 1 =
A
Iterative Method and
Gauss-Seidel
Gauss-Seidel
Gauss-Seidel
Gauss-Seidel
Gauss-Seidel
Gauss-Seidel
Gauss-Seidel: Ex 8.4
Gauss-Seidel: Ex 8.4
0
0
x = x = x =
1
2
0 0
3
+
x +
x
+
+
1
.
7 85
1
.
0
0
2
.
0
0
85
.
7
(
1
.
0
)
0
.
0 (
2 )
0
.
7 85
2
3
x =
=
=
= .
2 61667
1
3
3
3
−
−
x +
x
−
−
+
−
1
.
19 3
.
0 1 1
3
.
0
0
19 3
.
0 (
1
.
.
2 61667)
.
0 (
3 0)
.
19 56167
1
3
x =
=
=
= −2 79452
.
2
7
7
7
−
x +
x
−
+
−
1
.
71 4
3
.
0
1
0 2
.
1
.
71 4 0 (
3
. 2 61667
.
)
(
2
.
0
)
79452
.
2
056095
.
70
1
2
x =
=
=
= 00561
.
7
3
10
10
10
2 61667
.
− 0
e
=
×100 =
%
100
a 1
,
61667
.
2
− 2 79452
.
− 0
e
=
×100 =
%
100
a 1
,
− 79452
.
2
7 00561
.
− 0
e
=
×100 =
%
100
a 1
,
00561
.
7
1
x = 2
x = −
x =
1
61667
.
, 1
.
2
,
79452
1
.
7 00561
2
3
+
x +
x
+
−
+
2
7 85
.
.
0 1 1
.
0 2 1
7 85
.
.
0 (
1
.
2
)
79452
0 (
2
.
)
00561
.
7
8 971696
.
8
2
3
x =
=
=
= 99056
.
2
1
3
3
3
−
−
x +
x
−
−
+
−
2
.
19 3 0 1
.
2
3
.
0
1
3
.
19
0. (
1
)
99056
.
2
(
3
.
0
7
)
00561
.
17 49737
.
1
3
x =
=
=
= − 49962
.
2
2
7
7
7
−
x +
x
−
+
−
2
71 4
.
0 3
.
2
.
0 2 2
71 4
.
(
3
.
0
)
99056
.
2
(
2
.
0
2
)
49962
.
70 00291
.
1
2
x =
=
=
= 00029
.
7
3
10
10
10
.
2 99056 − .
2 61667
e
=
×100 =
%
50
.
12
a,2
99056
.
2
− 49962
.
2
− (− .
2
)
79452
e
=
×100 =
%
80
.
11
a,2
− 49962
.
2
00029
.
7
− 7 00561
.
e
=
×100 =
%
076
.
0
a,2
7 00029
.
2
x = 2.
x = −
x =
1
,
99056
2
,
49962
.
2
2
00029
.
7
2
3
+
x +
x
+
−
+
3
7.85 0 1
.
2
0 2
.
2
85
.
7
(
1
.
0
)
49962
.
2
.
0 (
2
)
00029
.
7
0001
.
9
2
3
x =
=
=
= 3 00003
.
1
3
3
3
−
−
x +
x
−
−
+
−
3
3
.
19
1
.
0
3
3
.
0
2
3
.
19
)
00003
.
3
(
1
.
0
.
0 (
3 .
7
)
00029
499916
.
17
1
3
x =
=
=
= − .
2 499988
2
7
7
7
−
x +
x
−
+
−
3
.
71 4 0 3
.
3
.
0 2 3
4
.
71
.
3
(
3
.
0
)
00003
(
2
.
0
2
)
499988
.
.
69 99999
1
2
x =
=
=
= .
6 999999
3
10
10
10
00003
.
3
− 99056
.
2
e
=
×100 =
%
3157
.
0
a,3
00003
.
3
− 499988
.
2
− (−
)
49962
.
2
e
=
×100 =
%
01472
.
0
a,3
− 499988
.
2
999999
.
6
− 00029
.
7
e
=
×100 =
%
004157
.
0
a,3
999999
.
6
Gauss-Seidel: Ex 8.4
Gauss-Seidel: Ex 8.4
Jacobi Method
Convergence of Iterative
Method
• After Break
– LU Decomposition
LU Decomposition
LU Decomposition
LU Decomposition
LU Decomposition
LU Decomposition
LU Decomposition
LU Decomposition
LU Decomposition
LU Decomposition
LU Decomposition
Crout Decomposition
Crout Decomposition
Crout Decomposition
Crout Decomposition
Crout Decomposition
Crout Decomposition
Crout Decomposition
Example 8.6
Crout Decomposition
Crout Decomposition
Example 8.7
Example 8.7
Summary Chapter 8
• DOWNLOAD
• คํานวณแนะนําให้เขียนโปรแกรม หรือใช้
MATLAB หรือใช้ Spreadsheet(Excel)
• หยุด 2 ส ัปดาห์
– การบ้าน ส่งต้นช่ัวโมง พุธ 20 เมษายน
• Next Week (Wk 13)
– No Class วันจักรี
• Following Week (Wk 14)
– No Class วันสงกรานต์
• Week 15; Chapter 11
– April 20
– Numerical Differentiation and
Integration